Schwerefeldmodelle als Kugelflächenfunktionsentwicklungen

Üblicherweise wird ein Schwerefeldmodell dargestellt als ein Satz von Kugelfunktionskoeffizienten . Dabei bedeuten n Grad und m Ordnung der Koeffizienten der Kugelfunktionsreihe; der Querstrich deutet an, dass die Koeffizienten zu sogenannten voll normalisierten Kugelflächenfunktionen gehören. Geht man vom Störpotential aus, d.h. dem Schwerepotential minus dem Normalschwerepotential, so lautet die sphärisch-harmonische Reihe:

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(Mit φ, und r, den sphärischen oder ellipsoid-geographischen Koordinaten, G, der Gravitationskonstanten, M, der Masse der Erde, M₀ der Masse, die für die Erde im Normalschwerefeld angesetzt wird und a, dem Äquatorradius des Bezugsellipsoids. )

Das erste Glied in der Reihenentwicklung stellt die Abweichung des Produkts aus GM von den Annahmen des Normalschwerefeldes dar und entspricht der Kugelflächenfunktionsentwicklung von Grad und Ordnung n = m = 0. Die Koeffizienten des Grades n=1 werden zu null angenommen, was der Annahme entspricht, dass der Koordinatenursprung mit dem Massenmittelpunkt der Erde übereinstimmt.

Da das Störpotential keinen Zentrifugalanteil enthält, geht man davon aus, dass das Normalpotential das Zentrifugalpotential perfekt beschreibt.

Abbildung Dreiecksstruktur eines Satzes von Kugelfunktionskoeffizienten

Das Störpotential wird, in dem es in Kugelflächenfunktionen entwickelt wird, als harmonisch angenommen und erfüllt somit die Laplace-Gleichung für den massefreien Außenraum. Dabei stellt sich die Frage, wie mit den atmosphärischen Massen verfahren wird. In einer ersten Annahme denkt man sich den gesamten statischen Anteil der atmosphärischen Massen gleichsam auf einer Kugel mit r = a kondensiert. Dies wird dadurch erreicht, dass unter M₀ vereinbarungsgemäß die Summe aus der Masse der festen Erde, ozeanischer und atmosphärischer Massen verstanden wird. Sollen terrestrische Daten mit den Satelliten Schwerefelddaten verglichen werden, so muss über atmosphärische Modelle die Masse korrigiert werden.

Der maximale Entwicklungsgrad nmax bestimmt den Detailreichtum, der mit der endlichen Reihe erreichbar ist. Es gilt die Faustformel

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Dabei ist 20000 km der halbe Erdumfang und die kleinste räumliche Ausdehnung (Halbwellenlänge), die mit diesem Abbruchgrad darstellbar ist.