Schwerefeldmodelle als
Kugelflächenfunktionsentwicklungen

Üblicherweise
wird ein Schwerefeldmodell dargestellt als ein Satz von Kugelfunktionskoeffizienten
. Dabei bedeuten n
Grad und m Ordnung der Koeffizienten
der Kugelfunktionsreihe; der Querstrich deutet an, dass die Koeffizienten zu sogenannten
voll normalisierten Kugelflächenfunktionen gehören. Geht man vom Störpotential
aus, d.h. dem Schwerepotential minus dem Normalschwerepotential, so lautet die
sphärisch-harmonische Reihe:

.

(Mit φ,
und r, den sphärischen oder ellipsoid-geographischen
Koordinaten, G, der Gravitationskonstanten, M, der Masse der Erde, M₀
der Masse, die für die Erde im Normalschwerefeld angesetzt wird und a, dem
Äquatorradius des Bezugsellipsoids. )

Das erste
Glied in der Reihenentwicklung stellt die Abweichung des Produkts aus GM von
den Annahmen des Normalschwerefeldes dar und entspricht der
Kugelflächenfunktionsentwicklung von Grad und Ordnung n = m = 0. Die
Koeffizienten des Grades n=1 werden zu null angenommen, was der Annahme
entspricht, dass der Koordinatenursprung mit dem Massenmittelpunkt der Erde
übereinstimmt.

Da das
Störpotential keinen Zentrifugalanteil enthält, geht man davon aus, dass das
Normalpotential das Zentrifugalpotential perfekt beschreibt.

Abbildung
Dreiecksstruktur eines Satzes von Kugelfunktionskoeffizienten

Das
Störpotential wird, in dem es in Kugelflächenfunktionen entwickelt wird, als
harmonisch angenommen und erfüllt somit die Laplace-Gleichung für den
massefreien Außenraum. Dabei stellt sich die Frage, wie mit den atmosphärischen
Massen verfahren wird. In einer ersten Annahme denkt man sich den gesamten
statischen Anteil der atmosphärischen Massen gleichsam auf einer Kugel mit r =
a kondensiert. Dies wird dadurch erreicht, dass unter M₀
vereinbarungsgemäß die Summe aus der Masse der festen Erde, ozeanischer und
atmosphärischer Massen verstanden wird. Sollen terrestrische Daten mit den
Satelliten Schwerefelddaten verglichen werden, so muss über atmosphärische
Modelle die Masse korrigiert werden.

Der
maximale Entwicklungsgrad nmax
bestimmt den Detailreichtum, der mit der endlichen Reihe erreichbar ist. Es
gilt die Faustformel

.

Dabei ist
20000 km der halbe Erdumfang und die kleinste räumliche
Ausdehnung (Halbwellenlänge), die mit diesem Abbruchgrad darstellbar ist.